Momentos negativos en viga bi-apoyada, ¿nos hemos vuelto locos?

La forma más común de “apoyar” una viga es dejarla en reposo sobre una base o punto de apoyo, normalmente apoyos de neopreno o algún otro sistema similar. Parece lógico pensar, y es lo que uno piensa de forma instantanea cuando lee "viga bi-apoyada", que en las zonas de apoyo no van a aparecer momentos negativos. Pero, ¿podemos estar seguros de esto?.

Apoyos de neopreno

La viga apoyada que se estudia en resistencia de materiales y que se emplea para realizar cualquier tipo de análisis estructural, no se corresponde de forma exacta con la idea que tenemos de una viga apoyada en la realidad.  En la viga “ideal”, que solemos emplear por inercia (mal hecho, porque siempre hay que pensar bien que es lo que se está haciendo y cuales son las hipótesis de los modelos que estamos empleando), se considera que las restricciones de los apoyos se aplican en el centro de gravedad de la sección, en lugar de en la cara inferior como ocurre en la realidad.

El punto de apoyo influye de forma crítica en la solución y hay que tener cuidado con esto. La teoría de vigas, de forma general, parte de una serie de simplificaciones. Una de ella es suponer que la viga se puede considerar como una línea, el centro de gravedad, de forma que supone que todas las cargas y restricciones actuan sobre el mismo.

En la vida real una viga apoyada, se encuentra apoyada sobre la cara inferior de su sección. Es decir, la restricción al desplazamiento se encuentra en la fibra inferior de la sección y no en el centro de gravedad de la misma. (De forma similar ocurre con las cargas).

Uno puede pensar que cuando el canto de una viga es relativamente pequeño, la influencia del punto de introducción de los apoyos es irrelevante. Pero, ¿cómo de irrelevante resulta despreciar este efecto y cuando podemos despreciarlo? La respuesta es que siempre que no aparezcan reacciones horizontales en los apoyos (en el caso de emplear apoyo+carrito, por ejemplo), podemos despreciar este efecto.

La confusión, y aquí es donde podemos meter la pata de forma bochornosa, es cuando las reacciones horizontales de los apoyos no son nulas, ya sea porque aparece rozamiento en los apoyos o porque ambos apoyos están diseñados para absorber componente horizontal.

El problema en este caso es que el punto de aplicación de los apoyos no solo no resulta irrelevante en el análisis, sino que podemos estar cometiendo errores en las flechas y esfuerzos del orden del 50% si no los tenemos en cuenta de forma adecuada.

 

Para ilustrar esto, consideremos una viga  bi-apoyada (apoyo+apoyo) de 6 metros de luz y sección 10mmx1000mm, con una carga de 100N aplicada en centro de vano. Esta viga la hemos modelado con el programa de elementos  finitos SAP2000 empleando elementos lineales tipo “frame”(izquierda) y elementos área tipo “plane" con tensión plana (derecha):

En el modelo con elementos área "plane" hemos aplicado los apoyos en la cara inferior de la viga, del mismo modo que se aplicarían en la realidad.

Como resultado del análisis estático se obtiene en el modelo “frame” una flecha máxima  de 21’74mm mientras que en el modelo “plane” la flecha máxima es de 9’58mm, aproximadamente la mitad. ¿Por qué no coinciden las flechas?¿Qúe está pasando aquí?. 

Si exageramos la deformada, podemos intuir mejor lo que está ocurriendo:

Se puede ver que en la zona de los apoyos la sección del modelo "plane" no se está deformando de la misma forma que en el caso de una viga bi-apoyada, sino que aparece un punto de inflexión en la curvatura de la viga.  Si observamos las tensiones normales S11 en los elementos “plane”, vemos como en la zona del apoyo la cara superior se encuentra traccionada y la inferior comprimida (momento negativo), mientras que en el centro de vano ocurre a la inversa (momento positivo), es decir se produce una inversión en el signo del momento como se puede apreciar:

En el caso de emplear elementos “frame”, o de resolver el problema de la viga de forma analítica, estamos considerando que los apoyos se encuentran aplicados en el centro de gravedad de la sección, en lugar de en la cara inferior de la misma, como habiamos modelado en el caso de elementos “plane”.

Si cambiamos la restricción de apoyo en el modelo "plane" y la situamos en la fibra central de la sección, vemos como la deformada coincide con lo esperado para el caso de viga apoyada, arrojando una flecha máxima de 21’73mm frente a los 21’74mm del modelo “frame”, esta vez muy similar:

Vemos también que en este caso  la distribución de tensiones normales de modelo "plane" se corresponde con la de la viga biapoyada, estando la cara superior comprimida y la inferior traccionada en todos los puntos (sin puntos de inflexión en el momento):

De forma análoga también podiamos haber cambiado el punto de inserción de las cargas/reacciones en el modelo “frame”, y en lugar de considerar el centro de gravedad, considerar la cara inferior de la sección.
En este caso aparece de nuevo una inflexión en la curvatura (como si estuviera parcialmente empotrada) que se traduce en un momento negativo en la zona de apoyo. Obtenemos una flecha máxima en el modelo "frame" de 9.52mm, frente a los 9.58mm del modelo “plane” con los apoyos en las esquinas inferiores.

Por tanto se comprueba que el punto de introducción de los apoyos en el modelo es crucial cuando aparecen reacciones horizontales. En la mayoría de los casos una viga biapoyada se encuentra apoyada sobre su cara inferior, no en su centro de gravedad, además de que siempre existe una cierta reacción horizontal en los apoyos debida al rozamiento y a la propia rigidez de los mismos (no existe el apoyo ideal). Por este motivo si realizaramos el estudio de esta viga (en la que aprecen reacciones horizontales) empleando la formula clásica de resistencia de materiales para la viga biapoyada sin considerar la excentricidad de los apoyos estaríamos cometiendo un error en la estimación de la flecha y otro error de similar magnitud en los esfuerzos

Lo que más  puede chocar de todo esto es que una viga con restricciones de apoyo presente un momento negativo en sus extremos. ¿Cómo es posible que equilibre este momento negativo si en los apoyos no existe reacción de momento? 

Es posible, porque no es del todo cierto que no exista una reacción de momento.  Si nos paramos a pensar por un segundo, nos daremos cuenta  que al situar los apoyos en la cara inferior estamos situando la reacción horizontal  “Rh” con una excentricidad  “e” respecto del centro de gravedad. Esto es la causa de que el apoyo pueda absorber un momento M=Rh*e, siempre que Rh no sea nulo, ( ya que los momentos flectores de una viga están calculados tomando como centro el centro de gravedad de la sección).

 

Cuanto menor sea la componente “Rh” (menor sea el rozamiento o la rigidez horizontal del apoyo), más se aproximará el comportamiento de la viga a la de una viga apoyada ideal.

Si colocamos en uno de los extremos un apoyo en carrito, la  componente "Rh" será nula y podemos ver como en este caso la viga si se comporta como si estuviera apoyada, a pesar de incorporar los apoyos en su cara inferior (ya que Rh=0, M=Rh*e=0*e=0, por lo que pierde la capacidad para absorber momento en sus extremos).

Es importante notar que la excentricidad de “Rh” introduce momentos negativos en las zonas de apoyo de la viga, incluso cuando no existen acciones externas horizontales actuando sobre la viga.

Como conclusión podemos afirmar (aunque nos duela en el corazón) que en el mundo real una viga bi-apoyada (en su cara inferior), en la que aparecen reacciones horizontales no nulas, no se comporta como si estuviera “apoyada”, sino que aparecerán momentos negativos sus extremos.