¿Cuándo aplicar la hipótesis de pequeñas deformaciones? (Parte II)

La ecuación de la viga para grandes deformaciones

¿Soy lo suficiente pequeño? Yo creo que sí

 A lo largo de esta seríe de entradas dedicadas al cálculo de estructuras vamos a tratar de encontrar cual es el límite de aplicación de la "hipótesis de pequeñas deformaciones", es decir, cuando podemos y cuando no podemos considerar pequeñas las mismas.
 En la entrada anterior (Parte I) comentamos como podríamos definir dicho límite o frontera entre lo que es "pequeño" y lo que no, llegando a la conclusión de que todo depende del error que estemos dispuestos a asumir.

Para conocer de forma precisa el error en el que se incurre al realizar la "hipótesis de pequeñas deformaciones" y poder definir una frontera entre las pequeñas y las grandes deformaciones estudiaremos la expresión general de la deformada (sin considerar pequeñas deformaciones!).


En nuestro caso, vamos a estudiar el comportamiento de una viga empotrada en voladizo, sobre la que actúa una carga puntual “P” en su extremo. Como simplificación despreciaremos la deformación por cortante y solo consideraremos las deformaciones debidas a los esfuerzos flectores M(x).

El comportamiento de dicha viga,  en el caso de prescindir de la simplificación de pequeñas deformaciones, viene dado por la Ley de Navier:

Donde E e I son el módulo de Young del material y la inercia de la sección, respectivamente.

“K” es la curvatura de la deformada, es decir, la inversa del radio de curvatura “p”. De forma general esta se puede expresar como:

En el caso de una viga empotrada de longitud “L” sometida únicamente a una carga puntual “P” en su extremo situado a una distancia “xf”, la ley de esfuerzos flectores sigue una expresión lineal:

Remarcar que aunque el extremo de la viga se encuentre en la coordenada x=xf, esta distanccia será menor que la propia longitud “L” de la viga debido a que  no estamos considerando que los desplazamientos sean pequeños.

Teniendo en cuenta todo lo dicho hasta ahora y derivando respecto de “s”, la Ley de Navier queda como:

Esta ecuación diferencial, de resolución algo compleja, nos permitirá conocer la deformación angular en función de la coordenada arco “s”. Las dos condiciones de contorno necesarias para resolver la ecuación diferencial son:

La primera condición significa que el giro en s=0 es nulo, ya que la viga se encuentra empotrada.

La segunda condición significa que en s=L, el extremo libre de la viga, el momento flector es nulo, M(L)=0.

Una vez conocida la expresión de la deformación angular, podremos calcular la flecha vertical "y(s)"que experimenta la viga en cualquier punto "s" de la misma integrando la siguiente expresión e imponiendo que la flecha en el empotramiento sea nula.

La flecha máxima se dará en el extremo del voladizo, por tanto:

En resumen, y para no perder el norte de lo que estamos buscando tras esta pequeña aventura “diferencial”, hemos conseguido definir una función (aunque no la hemos resuelto!) que nos define la deformación de nuestra viga en voladizo para el caso de grandes deformaciones y queremos conocer la flecha máxima "Ymax"  para poder así compararla con la flecha que obtendríamos si hubiéramos considerado como pequeñas las deformaciones. 

Además queremos sacar algo de provecho de todo esto. Alguna regla que podamos generalizar para distintos problemas estructurales y que nos permita decidir si con la hipótesis de pequeñas deformaciones es suficiente o no de forma rápida, para consumir el menor tiempo posible y trabajar de forma más eficiente. Lo ideal de todo este embrollo matemático-existencial en el que nos hemos metido es que existiera un parámetro, fácil de calcular, que relacionara todas las variables del problema y el cual definiera la frontera entre pequeñas y grandes deformaciones.

Ya que a priori no sabemos que forma puede adoptar la expresión de la deformada, desconocemos si este parámetro existe siquiera. No obstante, hay una forma de averiguar su existencia sin tener que resolver analíticamente la EDO de la deformada, empleando el Teorema Pi de Buckingham, que veremos en la siguiente entrada (Parte III).